Dotes Puras

Existen dos métodos o maneras de deducir la fórmula de las dotes puras:

a) Método de los fondos mutuales

Si actualmente f_x personas, deciden realizar una contribución paritaria a un fondo común, que más propiamente se denomina fondo mutual, con objeto de distribuirse la cantidad de $1 a cada persona del grupo que logre sobrevivir “n” periodos de tiempo, estamos refiriéndonos a una contribución total que es el valor actual de los I_x+n sobrevivientes, es decir a,

Cada persona realizará una contribución de _nE_x que multiplicada por los actuales I_x individuos resulta ser la contribución total al inicio de contrato.  Luego esta contribución total será igual al valor actual de los futuros beneficios, en este caso de $1, a ser pagados a cada uno de los I_x+n sobrevivientes del grupo inicial, después de ‘n’ periodos de tiempo.

Por lo tanto,

(9.1)

(9.1) es la fórmula de lo que se llama, una dote pura, una contribución individual, o una prima neta única, que depende tanto de la tasa de interés como también de la probabilidad de continuar con vida hasta la edad de x+n.

b) Método de la expectativa futura

Si P simboliza a las probabilidades, por lo tanto, la probabilidad que un individuo reciba un pago R, será su expectativa P ∙ R.  Ahora bien, si este pago R lo diferimos n años, el valor actual de esta expectativa será vⁿ PR.  En el caso de las rentas vitalicias el pago R será cancelado al individuo siempre y cuando esté con vida después de los n años periodos de tiempo, por lo tanto la probabilidad que (x) este con vida a los x+n años será:

Y el valor actual de su expectativa tendrá que ser corregido a:

Esta manera de explicar a los pagos diferidos nos da como resultado una dote pura de R diferida por n años.

Por lo tanto, el valor actual a los x años de edad de una dote pura de $1 después de n años estará denotada por:

_nE_x, consecuentemente.

Utilizando símbolos de conmutación: La fórmula 9.1 puede ser modificada multiplicando numerador y denominador por v^x a fin de obtener simetría en las edades y facilitar la utilización de símbolos.

Son abreviaciones o símbolos de conmutación las siguientes designaciones:

Por lo tanto, a la dote pura que es neta y única podemos escribirla como,

_nE_x puede también expresarse como Prima Neta Única a la edad de x años para una dote pura de $1 después de n años.  La palabra neta indica que no se está incluyendo recargos por concepto de gastos o utilidades emergentes de la transacción.

El valor actual A, denotado por intermedio del factor de actualización _nE_x de una dote pura R pagadera después de n años a un individuo de x años de edad, siempre y cuando alcance la edad x+n será:

Dx es un símbolo de conmutación, que aparece en la Tabla III, CSO de 1958 al 3%, mientras que:

Se encuentran en las tablas VII y VIII de la CSO de 1958.

Ejemplo 1.

¿Cuál será la prima neta única a la edad de 37 años para una dote pura de $ 1.000 a recibirse dentro de 10 años según la tabla CSO de 1958?

Solución:

En la Tabla III, se observa las edades correspondientes a la columna Dx para:

Prueba:

En la CSO de 1958 se puede ver que a la edad de 37 años existen I_x = 9’325.594 sobrevivientes, si cada uno de ellos contribuye con $ 713.97 a un fondo común que ganó intereses a razón del 3% por espacio de 10 años, transcurrido este periodo la cuantía acumulada será distribuida entre I₄₇ es decir entre los que hayan logrado sobrevivir los cuarenta y siete años, tenemos:

Este demuestra que vale la pena acumular un fondo mutual con Beneficio de Supervivencia y Beneficio de Intereses.  Si el fondo ganaría solamente intereses de $ 713.97, en los 10 años se acumularía a 713.97(1.03)¹⁰ = 959.52, en cambio con beneficio de supervivencia llega a $ 1.000, ya que quienes hayan perdido la vida en el transcurso de los 10 años también han perdido su posibilidad de beneficiarse con los $ 1.000.  Por lo tanto, _nE_x es un factor de descuento correspondiente a los intereses y supervivencia y alternativamente 1/_nE_x será un factor de acumulación con beneficio de intereses y supervivencia, en cambio v^-n es un factor de acumulación con beneficio únicamente de intereses y vⁿ un factor de descuento con beneficio únicamente de intereses.