Solución por el Método Simplex (Paso a paso)

Los anteriores métodosde solución pueden aplicarse a problemas bidimensionales, mientras que cuando el número de variables excede de dos, se puede recurrir al método en cuestión “simplex”.

Como ya se explicó anteriormente en el método “simplex” es un proceso que, por medio de un algoritmo, permite resolver problemas de “n” variables.

El método simplex recorre los vértices del área factible y comprueba cada uno de ellos si se trata de la solución óptima y en caso de que no sea, va buscando uno a uno otro vértice que optimiza la función objetivo hasta encontrar el menor costo.

La solución del problema en cuestión por el método “simplex” es el siguiente:

1. Se busca: Minimizar el costo en la función objetivo:

Z = (c/u1) (x1) + (c/u2) (x2)

2. Las restricciones son que en cada paño de 100 metros por lo menos se tienen que emplear:

45 kilogramos de lana

30 kilogramos depoliéster

Por lo cual empleando la fibra L y fibra M, su contenido de lana debe ser mayor o igual a 45 kilogramos y por otra parte empleando las fibras “L” y “M” su contenido de poliéster debe ser igual o mayor a 30 kilogramos.

Considerando que las fibras “L” y “M” tienen el siguiente contenido de lana y poliéster:

Solución por el Método Simplex (Paso a paso) - Programación lineal, Costos

Las restricciones están dadas por:

Lana:

(l1) (x1) + (l2) (x2) >= 45 kilogramos de lana

(0,60) (x1) + (0,30) (x2) >= 45

Poliéster:

(m1) (x1) + (m2) (x2) >= 30 kilogramos de poliéster

(0,10) (x1) + (0,50) (x2) >=30

Solución por el Método Simplex (Paso a paso) - Programación lineal, Costos

3. Restricción de no negatividad

La cantidad a emplearse de fibra “L” y “M” no pueden ser negativos, es decir, deben ser igual o mayor a cero ya que no sería factible utilizar en el proceso de producción menos un kilogramo de fibra, por lo cual:

x1 >= 0

x2 >= 0

4. Variables excedentarias

Para convertir las inecuaciones en ecuaciones se introducen las variables excedentarias –t1 y –t2 de tal manera que las ecuaciones sean las siguientes:

Con los cuales se puede determinar la solución óptima de la función objetivo Z = 8x1 + 12x2 y las variables excedentarias –t1 y –t2.

Por otra parte, también se convierte la ecuación de mínimo costo.

Z = 8x1 + 12x2 – 0t1 – 0t2

Donde sus coeficientes se representan con Cj:

C1 = 8; C2 = 12; C3 = 0; C4 = 0

Con los coeficientes se confecciona la matriz:

Solución por el Método Simplex (Paso a paso) - Programación lineal, Costos

Como no se tiene la matriz identidad, entonces para lograrlo se introducen variables artificiales:

Con los cuales ya se puede determinar la solución óptima de la función objetivo Z = 8x1 + 12x2, las variables excedentarias –t1 y –t2 y las variables artificiales h1 y h2.

Por otra parte, también se convierte la ecuación de mínimo costo:

Z = 8x1 + 12x2 – 0t1 – 0t2 + 100h1 + 100h2

Para que en la solución final no entren las variables artificiales se dan valores altos (debido a que se busca el menor costo) como por ejemplo 100.

Donde sus coeficientes se representan con Cj.

C1 = 8; C2 = 12; C3 = 0; C4 = 0; C5 = 100; C6 = 100

Con los coeficientes se confecciona la matriz:

Solución por el Método Simplex (Paso a paso) - Programación lineal, Costos

Con esta información se arma la tabla:

Solución por el Método Simplex (Paso a paso), Tabla - Programación lineal, Costos

Debido a que se busca minimizar la función objetivo, los coeficientes de C1 y C2 no se cambian de signo.  Las variables de la matriz identidad ingresan en la base.

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