PASO I. Determinación de la función objetivo
En el caso que se desarrolla como ejemplo ya se ha determinado que la función objetivo es:
Donde:
PASO II. Determinación de las restricciones
En el caso que se desarrolla como ejemplo, las restricciones son la capacidad en horas máquina en los procesos I y II.
Mientras que el tiempo requerido por cada uno de los productos es:
Por lo cual las funciones de restricción son:
PROCESO I
PROCESO II
PASO III. Formulación de la restricción de no negatividad
La cantidad a producir de juegos de comedor o de juegos de living no pueden ser negativos, es decir la cantidad a producir debe ser igual o mayor a cero ya que no sería factible producir menos un juego de comedor; por lo cual:
x1 >= 0
x2 >= 0
PASO IV. Determinación del punto donde la función objetivo hace tangente con el vértice de un ángulo del área factible.
Considerando que en programación lineal se tiene un teorema que dice que la solución óptima se encuentra en el vértice de un ángulo del área factible, entonces la solución óptima se encuentra en uno de los vértices donde la función de beneficio hace tangente.
Con el método algebraico se pueden encontrar uno o más puntos donde la función de beneficio haga tangente con el vértice de un ángulo del área factible, sin embargo, se logra el Máximo beneficio cuando la función de beneficio toma su mayor valor.
En el ejemplo en cuestión, si se observa el gráfico 11-13 los vértices de los ángulos del área factible se encuentran en los puntos:
En esos puntos la función beneficio adquieren un valor de:
Z = 200x1 + 120x2
En el punto “B” donde:
La utilidad es:
En el punto “C” donde:
La utilidad es:
En el punto “D” donde:
La utilidad es:
El máximo beneficio se logra cuando Z adquiere el valor de $ 372.000 y se da cuando en el punto "D".
Por tanto, la empresa debe producir 600 juegos de comedor y 2.100 juegos de living. Como se recordará, el cálculo se hizo con ayuda del gráfico 11-13, mientras que solo mediante método algebraico y sin ayuda del gráfico, el análisis es el siguiente:
La función de máximo beneficio está dada por:
Las restricciones que limitan el área factible están dadas por las funciones:
Los vértices de los ángulos del área factible se encuentran:
a) En la intersección de las ecuaciones 2 y 3:
Si se despeja x2 en la ecuación 2:
Reemplazando 4 en la ecuación 3:
Reemplazando x1 = 600 en la ecuación 2:
b) Otra situación se da cuando la función restricción hace intersección con el eje de las ordenadas, es decir que cuando:
x1= 0
En tal caso reemplazando en la ecuación 3:
c) Otra situación se da cuando la función restricción hace intersección en el eje de las abscisas, es decir que cuando:
x2 = 0
En tal caso reemplazando en la ecuación 2:
Por tanto, en los vértices de los ángulos del área factible x1 y x2 toman los siguientes valores:
En esos puntos la función beneficio Z = 200x1 + 120x2 toma los siguientes valores:
Cuando:
El beneficio es:
Cuando:
El beneficio es:
Cuando:
El beneficio es:
Por tanto, la solución se da cuando la intersección de las funciones de restricción que limitan el área factible:
Hacen tangente con la función objetivo:
Z = 200x1 + 120x2
Por lo cual como las funciones de restricción que limitan el área factible son:
La intersección se da cuando:
El máximo beneficio se determina reemplazando los anteriores valores en:
En conclusión, se deben elaborar:
Para lograr el máximo beneficio que asciende a $ 372.000.