Fórmula de Bayes

Una vez que hemos diagramado el árbol de posibilidades podemos conocer cualquier rama del mismo utilizando la fórmula de Bayes.

Sabemos que:

Pero sin embargo veamos las ramas de un árbol de dos posibilidades de salidas para cada evento.

árbol de posibilidades - Fórmula de Bayes

Donde,

Reemplazando los valores de las igualdades, tenemos:

Despejando P(F/E):

Puesto que:

Remplazamos los dos términos del segundo miembro de la ecuación por sus respectivos valores, tenemos:

Sustituyendo la ecuación (b) en la (a),

Generalizando para un árbol de ramas constituidas por más de 2 posibilidades, tenemos que frente a una salida resultante E, las posibilidades de que resulte una rama cualquiera “j” será que:

Utilizando el mismo razonamiento de comparación de dos salidas de acuerdo con la regla del producto, vemos que:

Despejando,

Y como P(E) representa el espacio muestral completo,

Finalmente, reemplazamos en la igualdad para P(FJ/E) encontramos la fórmula de:

Ejemplo 1.  Se han analizado las probabilidades de realización de accidentes en una fábrica de muebles y se ha establecido que la probabilidad de un accidente después de haberse cometido un error es del 34%, que la posibilidad de errar es del 7% y que la posibilidad de accidentarse sin que existan errores es del 24%.  Se desea conocer la probabilidad de que si se cometen errores también se producirán accidentes.

Solución:

Si A = Accidente; E = Error; E’ = No hay errores; y A/E = Accidente después de haberse producido un erro; E/E’ = Accidente sin que haya existido errores, por lo tanto:

Y la posibilidad de que, aunque no existan errores, de todas maneras, se produzcan accidentes:

Significa que existen o no existen errores, en este caso, los empleados de la fábrica están de todas maneras sometidos a riesgos de accidentes.

Ejemplo 2.

Según los informes médicos del Hospital del Obrero, se ha establecido que el último periodo de recesión económica, ha sido caracterizado por un incremento en la tasa de mortalidad infantil.  Ente las tres causas más probables se considera la falta de adecuada nutrición, y escaso control de las enfermedades y la falta de un programa de medicina preventiva, estableciendo un cuadro estadístico de casos se ha determinado que las causas de mortalidad son del 50%, 15% y el 35% respectivamente, y que las posibilidades de evitar estaos siniestros tendrían que traducirse en un 60% de mejoramiento en la dieta alimentaria, un 10% de mejora en los servicios de asistencia médica y un avance en el tratamiento de enfermedades en base a la medicina de por lo menos un 30%.

Si M representa niños que mueren C1 niños mal nutridos, C2 simboliza niños que disponen de inadecuada asistencia médica y C3 niños que no han sido tratados por los servicios de medicina preventiva. ¿Cuál será la probabilidad de que la inadecuada asistencia médica sea responsable del incremento en los índices de mortalidad infantil?

Solución 2.

Este resultado significa que como consecuencia de los servicios médicos inadecuados del último periodo de recesión económica la mortalidad infantil se ha incrementado en un 3.5%.

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