Cada repetición de un acontecimiento es un EVENTO. Los resultados posibles de cada prueba pueden ser exclusivos o no exclusivos. Se dice que dos eventos con resultados posibles diferentes son MUTUAMENTE EXCLUSIVOS cuando el hecho de que ocurra un evento excluye la posibilidad de realización del otro. Dos eventos son DEPENDIENTES o INDEPENDIENTES según la realización de un resultado afecte o no afecte la realización del mismo resultado en el otro evento.
Teorema I. Si todos los resultados tienen la misma probabilidad, la realización de un evento será igual al número de casos favorables entre el número total de casos.
Teorema II. La probabilidad de que salga un evento mutuamente exclusivo es igual a la suma de las respectivas probabilidades de los eventos individuales.
Es la probabilidad de que ocurran los eventos E o F, la suma de las probabilidades independientes.
Ejemplo 1. Seis soldados numerados del 1 al 6 van a un campo de batalla, si E representa la probabilidad que muera en combate el número 8 y F las probabilidades que mueran los números 1, 3 y 5.
Solución:
Por tanto:
Ahora bien, la probabilidad de que muera la persona 6 está dada por P(E), en cambio la probabilidad de que no muera por P(E), donde P(E) es el complemento de P(E).
Luego:
Quiere decir que el soldado 6 tiene solo dos posibilidades, de morir en la guerra o bien de regresar con vida, es decir, estamos refiriéndonos a la probabilidad total, consecuentemente la probabilidad de que continúe con vida será igual a:
Los resultados del evento muestral que no pertenecen al evento E reciben el nombre de complemento de E y se escriben como E’.
Teorema III. Cuando dos eventos no son mutuamente exclusivos, la probabilidad de que resulten los eventos E y F son iguales a la probabilidad de que ocurra E, más la probabilidad de que acontezca F, menos la probabilidad de que ocurran ambos.
Ejemplo 2. En base a los mismos 6 soldados del ejemplo 1, sabemos que 2 de ellos son jefes, que cada uno comanda un grupo de 2 soldados (bien al 2 y 3 o alternativamente al 5 y 6). Deseamos conocer la probabilidad de que sea escogido uno solo y que bien sea cualquiera de los números 4, 5, 6 o que sea un jefe.
La regla de la suma es aplicable solo a casos de eventos mutuamente exclusivos, en este caso, para los eventos E y F.
Teorema IV. Una probabilidad es CONDICIONAL cuando las posibilidades de realización de un evento dependen en alguna medida de factores condicionantes. Por ejemplo, el porcentaje de supervivencia de individuos de la misma edad dependerá del estado de salud en que se encuentren al momento de comprar una renta vitalicia. A esto es lo que denominamos PROBABILIDAD CONDICIONAL de que ocurra el evento A siempre y cuando haya ocurrido el evento B, y se escribe P(A/B).
Ejemplo 3. Deseamos investigar la probabilidad de que viva cinco años más un individuo de 30 años que ha sido admitido satisfactoriamente por los revisores médicos de una Caja Complementaria de Seguridad Social frente a otro individuo, también de 30 años que al momento de ser asegurado no ha recibido ningún chequeo médico con relación al estado de su salud.
Si, A = Sobrevivientes; A’ = Desaparecidos; B = Admitidos al sistema de seguridad social con verificación médica inicial; B’= Admitidos al sistema de seguro social sin revisión médica como condición para ser aceptado en el trabajo y el seguro.
Si deseamos conocer la probabilidad que una persona que ha sido aceptada en su trabajo con previo chequeo médico sobrevivirá los cinco años, tenemos a P(A/B) y si deseamos conocer la probabilidad de supervivencia de otra persona que fue asegurada sin revisión médica previa, tendremos a P(A/B’).
Para conocer todas las probabilidades dibujemos el DIAGRAMA DEL ÁRBOL.
Por tanto:
El evento A combina las ramas 1 y 3, de manera que:
Y el evento A’ combina las ramas 2 y 4.
De todo este razonamiento se establece la siguiente formula de la REGLA DEL PRODUCTO, para los eventos A y B, cuando los mismos son dependientes.
Teorema V.. La probabilidad que resulten dos o más EVENTOS INDEPENDIENTES es igual al producto de las probabilidades de cada uno de ellos.
Comparativamente con el Teorema IV que trato de eventos dependientes, el actual teorema considera que P(A/B) = P(A), luego,
Ejemplo 4. ¿Cuál será la probabilidad que dos personas, una de 30 y la otra de 50 años, sobrevivan un periodo adicional de cinco años? Si tomamos que la probabilidad que la persona de 30 años cumplirá 35 es del 90% y la probabilidad de la persona de 50 de cumplir 5 años más es del 85%?
Generalizamos las probabilidades de vida para más de dos personas de la siguiente manera:
Y para el caso de la generalización de probabilidades para casos de muerte será:
