Matemáticas Actuariales

Si en el momento actual, un grupo de personas de la misma edad x, desean establecer un aporte global a fin de recibir cada una, digamos $1 por año, la cuantificación de esta provisión inicial dependerá más que todo de los años de vida que les quede a los miembros del grupo.  Si cada $1 constituye un pago futuro y a_x el valor presente de todos ellos, los pagos y beneficios tendrán que igualarse tomando en cuenta la tasa de interés digamos del 3% y una sola fecha de comparación que en este caso resulta ser la fecha actual.

Son Rentas Vitalicias aquellos pagos en serie, generalmente de la misma cuantía y efectuados con una periodicidad uniforme, sin embargo, cada renta es contingente de la supervivencia del Rentista.

Existen dos métodos o maneras de deducir la fórmula de las dotes puras:

a) Método de los fondos mutuales

Si actualmente f_x personas, deciden realizar una contribución paritaria a un fondo común, que más propiamente se denomina fondo mutual, con objeto de distribuirse la cantidad de $1 a cada persona del grupo que logre sobrevivir “n” periodos de tiempo, estamos refiriéndonos a una contribución total que es el valor actual de los I_x+n sobrevivientes, es decir a,

Las rentas o pagos futuros que resultan ser contingentes de la supervivencia de una o varias personas pueden ser actualizadas.  Al valor de estas Rentas Vitalicias se le da el nombre de Prima Neta Única, y es la suma de dinero pagada al inicio o firma de contrato, que constituye la cantidad inicial, suficiente y necesaria para garantizar la realización de una serie de pagos a ser efectuados según o cronología de fechas.

Inicialmente obtendremos fórmulas en base a las siguientes consideraciones.

Rentas

Cuando un grupo de personas ha sido asegurado en base a ciertas características distintivas, emergentes de la misma naturaleza del grupo, se dice que para este grupo se tendrán que construir Tablas Selectas con objeto de conocer las tasas de mortalidad, que por el mismo hecho de no pertenecer a una población escogida al azar es algo diferente a las Tablas Comunes.

Esperanza o expectativa de vida representa el tiempo de vida que como promedio le queda por vivir a una persona de x años de edad e_x solo comprende años completos, en cambio:

Incluye el total de años de vida futura, por esta razón:

La tabla de mortalidad es un instrumento que nos sirve para medir las probabilidades de vida o muerte, investigando la experiencia del pasado podemos proyectar hacia el futuro los índices de mortalidad, tales como la Tasa de Mortalidad para cada año de vida, es decir la probabilidad que tienen los individuos de morir de morir en el transcurso de un año.  El número de muertes correspondientes a cada una de las edades se lo divide entre el número total de personas de esa edad, expuestas al riesgo de muerte.

La función matemática S(x) generalmente representada por una ecuación, determina las probabilidades de supervivencia para cada una de las edades de personas pertenecientes a un grupo inicial.  Su principal característica resulta ser la concentración de mayores porcentajes de mortalidad para casos de edades extremas, es decir, tanto para los primeros como últimos años de vida.

Una vez que hemos diagramado el árbol de posibilidades podemos conocer cualquier rama del mismo utilizando la fórmula de Bayes.

Sabemos que:

Pero sin embargo veamos las ramas de un árbol de dos posibilidades de salidas para cada evento.